Sebuah ember berisi 5 bola biru, 4 hijau, dan 5 merah. Arsya diminta untuk mengambil 2 bola secara acak dari ember tanpa pengembalian dan kemudian satu bola lagi akan diambil. Berapa peluang terambilnya 2 bola hijau dan 1 bola biru?
Jawab :
Jumlah bola = 14
Berdasarkan teori probabilitas didapatkan :
1 bola hijau = 4/14
bola hijau lagi = 3/13
1 bola biru = 5/12
Peluang terambilnya 2 bola hijau dan 1 bola biru = 4/14 * 3/13 * 5/12 = 5/182.
Contoh Soal 3
Tentukan mean dari data berikut: 55, 36, 95, 73, 60, 42, 25, 78, 75, 62!
Jawab :
Data yang ada adalah 55 36 95 73 60 42 25 78 75 62
Jumlah pengamatan = 55 + 36 + 95 + 73 + 60 + 42 + 25 + 78 + 75 + 62 = 601
Jumlah pengamatan = 10
Rata-rata = 601/10 = 60,1
Jadi nilai mean adalah 60,1
Contoh Soal 4
Dengan menggunakan aturan kejadian komplementer, buktikan bahwa M dan N adalah kejadian bebas jika P(M N) = 1 – P(M’) P(N’).
Jawab :
P(M ⋃ N) = 1- P(M’) P(N’)
Menurut aturan kejadian komplementer, P(A’) = 1 – P(A)
P(M ⋃ N) = 1 – [1 – P(M)] [1 – P(N)]
P(M ⋃ N) = 1 – [1 – P(M) – P(N) + P(M).P(N)]
P(M ⋃ N) = 1 – 1 + P(M) + P(N) – P(M).P(N)
P(M ⋃ N) = P(M) + P(N) – P(M).P(N) –> (Terbukti)
Contoh Soal 5
Dalam sebuah kantong terdapat 10 bola yang terdiri dari 3 bola berwarna hitam, 2 berwarna merah, 1 berwarna biru, 2 berwarna merah muda, dan 2 berwarna ungu. Misalkan X adalah kejadian pemilihan warna primer. Temukan P(X’).
Jawab :
X = {2 merah, 1 biru}
Jumlah bola = 10
Jumlah hasil yang menguntungkan = 3
P(X) = 3 / 10
Menggunakan aturan kejadian komplementer, P(A’) = 1 – P(A)
P(X’) = 1 – (3 / 10) = 7 / 10
Jadi, nilai P(X’) adalah 7 / 10
Contoh Soal 6
Pada pelemparan 3 uang logam, tunjukkanlah bahwa munculnya muka dari 3 uang logam saling bebas!
Jawab
Ruang sampel (S) = {(m,m,m), (m,m,b), (m,b,m), (m,b,b), (b,m,m), (b,m,b), (b,b,m), (b,b,b)} = 8
Misalkan
A = kejadian muncul muka uang logam 1
B = kejadian muncul muka uang logam 2
C = kejadian muncul muka uang logam 3
Maka diperoleh :
A = {(m,m,m), (m,m,b), (m,b,m), (m,b,b)} = 4/8 = 1/2
B = {(m,m,m), (m,m,b), (b,m,m), (b,m,b)} = 4/8 = 1/2
C = {(m,m,m), (m,b,m), (b,m,m), (b,b,m)} = 4/8 = 1/2
P(A n B) = (m,m,m) = 1/8
Sehingga
P(A n B n C) = P(A) . P(B) . P(C)
= 1.2 . 1/2 . 1/2 = 1/8
Jadi, kejadian A, B dan C adalah tiga kejadian saling bebas.
Contoh Soal 7
Misalkan sebuah dadu dilemparkan, B = kejadian munculnya bilangan kuadrat murni, dan diketahui bahwa peluang munculnya bilangan ganjil = 1/9 dan peluang munculnya bilangan genap = 2/9/ Bila diketahui A = {4,5,6} telah terjadi, tentukanlah P(A / B)
Jawab
S = {1,2,3,4,5,6}
P(ganjil) = 1/9
P(genap) = 2/9
B = {1,4}
A = {4,5,6} = 2/9 + 1/9 + 2/9 = 5/9 maka P(A) = 5/9
Maka :
A n B = {4} = 2/9 maka P(A n B) = 2/9
P(B / A) = P(A n B) / P(A)
= (2/9) / (5/9) = 2/5
Contoh Soal 8
Terdapat sebuah data populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut
Keterangan | Bekerja | Menganggur | Jumlah |
Laki-laki | 460 | 40 | 500 |
Wanita | 140 | 260 | 400 |
Jumlah | 600 | 300 | 900 |
Misalnya diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang dikota tersebut. Bila ternyata yang terpilih adalah orang yang telah bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia
1. Laki-laki
2. Wanita
Jawab
Misalkan A = kejadian terpilihnya sarjana yang telah bekerja
B = kejadian bahwa dia laki-laki
C = kejadian bahwa dia wanita
a. n (A n B) = 460, P(A n B) = 460/900
n(A) = 600, P(A) = 600/900
P(B / A) = P(A n B) / P(A) = (460/900) / (600/900) = 460/600
b. n (A n C) = 460, P(A n C) = 140/900
n(A) = 600, P(A) = 600/900
P(C / A) = P(A n C) / P(A) = (140/900) / (600/900) = 140/600
Contoh Soal 9
Pada saat menerima barang dari penyalur, biasanya pembeli memeriksa barang-barang tersebut. Dari 100 barang yang diterima ternyata ada 10 barang yang rusak. Apabila diambil dua barang secara acak dari 100 barang yang datang, berapa probabilitas bahwa kedua barang yang diambil tersebut rusak (pengambilan dilakukan tanpa pengembalian)
Jawab
Misalkan A adalah peristiwa terambilnya barang yang rusak pada pengambilan pertama dan B adalah peristiwa terambilnya barang yang rusak pada pengambilan kedua
P(A) = 10/100, maka P(B/A) = 9/99
Karena pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, probabilitas terambil keduanya rusak adalah
P(A n B) = P(B / A) . P(A)
= 9/99 . 10/100
= 90/9900 = 1/110
Contoh Soal 10
Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih.
Dengan mata tertutup, anda diminta mengambil 1 kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 1, kotak 2 dan kotak 3?
Jawab
A1 = kejadian terambilnya kotak 1
A2 = kejadian terambilnya kotak 2
A3 = kejadian terambilnya kotak 3
B = kejadian terambilnya bola merah
Ditanya P(A1 / B), P(A2 / B) dan P(A3 / B)
P(B / A1) = 1 P(B / A2) = 1/2 P(B / A3) = 0
n(A1) = 2/6 P(A1) = 1/3
n(A2) = 2/6 P(A1) = 1/3
n(A2) = 2/6 P(A1) = 1/3
P(B) = P(B/A1) . P(A1) + P(B/A2) . P(A2) + P(B/A3) . P(A3)
= 1 . 1/3 + 1/2 . 1/3 + 0 . 1/3 = 1/2
Sehingga diperoleh :
P(A1 / B) = P(B n A1) / P(B) = P(B / A1) . P(A1) / P(B) = (1 . 1/3) / (1/2) = 2/3
P(A2 / B) = P(B n A2) / P(B) = P(B / A2) . P(A2) / P(B) = (1/2 . 1/3) / (1/2) = 1/3
P(A3 / B) = P(B n A3) / P(B) = P(B / A3) . P(A3) / P(B) = (0. 1/3) / (1/2) = 0
Istilah Istilah Penting dalam Probabilitas
Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga istilah yang harus diketahui yaitu eksperimen, hasil (outcome) dan kejadian atau peristiwa (event). Selain 3 kata kunci utama tersebut, ada beberapa istilah lain yang sering muncul, antara lain sebagai berikut.
- Eksperimen Acak
Eksperimen yang hasilnya tidak dapat diprediksi sampai benar-benar diketahui. Misalnya, ketika melempar dadu secara acak, hasilnya tidak pasti bagi Anda. Bisa mendapatkan output apa pun antara 1 sampai 6. Inilah yang dikatakan sebagai eksperimen acak.
- Variabel Acak
Variabel yang menunjukkan hasil yang mungkin dari percobaan acak. Terdiri dari dua jenis yaitu variabel acak diskret dan kontinu.
Variabel acak diskret hanya mengambil nilai-nilai berbeda yang dapat dihitung. Sedangkan variabel acak kontinu dapat mengambil jumlah nilai yang mungkin tak terbatas.
- Variabel Independen
Saat probabilitas munculnya suatu peristiwa tidak memberikan dampak pada probabilitas peristiwa lain, maka ini disebut variabel independen atau keduanya tidak terikat.
- Ruang Sampel
Ruang sampel merupakan himpunan seluruh hasil yang mungkin muncul saat melakukan sebuah percobaan acak. Misalkan, jika melempar sebuah dadu secara acak, maka ruang sampel untuk percobaan ini adalah semua hasil yang mungkin dari pelemparan sebuah dadu, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Mean
Mean adalah rata-rata nilai dari hasil yang mungkin dari percobaan acak. Dalam istilah sederhana, ini adalah nilai harapan dari variabel acak.
- Nilai yang diharapkan
Nilai yang diharapkan adalah mean dari variabel acak. Dalam artian sederhana, nilai asumsi yang dipertimbangkan saat terjadi peristiwa acak.
Itu juga disebut ekspektasi, ekspektasi matematis atau momen pertama. Misalnya, jika kita melempar dadu dengan enam sisi, maka nilai yang diharapkan adalah nilai rata-rata dari semua hasil yang mungkin, yaitu 3, 5.
- Varians
Pada dasarnya, varians akan mengabarkan kepada Anda tentang bagaimana suatu nilai-nilai variabel acak dapat tersebar di sekitar nilai rata-rata. Ini akan membantu memetakan distribusi ruang sampel secara rata-rata.
- Events
Events dalam probabilitas statistika merupakan satu atau lebih kemungkinan hasil dari melakukan suatu tindakan.
- Sample Space
Sample space merupakan kumpulan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan (experiment).
Rumus Statistika | Rumus Statistika Deskriptif |
Rumus Purposive Sampling | Contoh Hipotesis |
Demikianlah serangkaian materi yang mengulas macam macam rumus probabilitas dan juga kumpulan contoh soal probabilitas lengkap dengan pembahasannya. Semoga apa yang wikielektronika tuliskan diatas dapat memberi manfaat untuk anda semuanya.
hrieztabel: “Berapa banyak cara berbeda kita bisa memilih 3 warna dari 6 warna yang tersedia?” Maharani: “Kita menggunakan konsep kombinasi ya? Jadi jawabannya adalah…”
a.
35
b.
50
c.
15
d.
20
ini tujuannya mau bertanya atau bagaimana ya kak ^_^?
d.20