√ Rumus Sifat Sifat Logaritma [+ Contoh Soal]

Logaritma Adalah?☑️ Penjelasan lengkap rumus dan sifat sifat logaritma dilengkapi contoh soal beserta pembahasannya untuk kelas 10☑️

Selain itu, agar kita lebih cepat hafal rumus logaritma yang kita bahas ini, kami tuliskan juga beberapa contoh soal pelatihan bagaimana cara menghitung logaritma yang akan kita coba untuk kerjakan bersama di akhir artikel ini.

Nah, bagi anda yang belum kenal dengan logaritma, berikut kami jelaskan tentang pengertian logaritma beserta sifat sifat logaritma dan contohnya dalam bahasa yang mudah dipahami.

Baca Cepat :

Pengertian Logaritma

Pengertian Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan invers (kebalikan) dari eksponen atau perpangkatan yang digunakan untuk menentukan besar pangkat dari sebuah bilangan pokok.

Sedangkan menurut beberapa ilmuwan Matematika, logaritma adalah cara lain untuk menulis sebuah eksponen. Logaritma merupakan suatu bilangan dengan basis sama dengan bilangan lain yang merupakan kebalikan dari bilangan berpangkat (perpangkatan). Secara matematis, definisi logaritma dinotasikan sebagai berikut :

Dengan :

a disebut basis (0 < a < 1 atau a > 1)
c disebut numerus (c > 0)
b disebut hasil logaritma

Catatan :

Hasil logaritma adalah pangkat dari basis
Basis 10 biasanya tidak dituliskan. Jadi, ¹⁰log x = log x
Menentukan nilai logaritma tidak selalu kembali kepada definisi logaritma
Logaritma dengan bilangan pokok e yakni ^elog x dituliskan ln x ( logaritma natural ). Bilangan e adalah bilangan irasional yang didefinisikan sebagai hasil limit dari untuk n.

Selain untuk penyelesaikan perhitungan matematis, rumus logaritma juga memiliki fungsi dalam ilmu pengetahuan lain seperti menentukan orde reaksi pada cabang ilmu kimia, pengetahuan akan akustik untuk memilih koefisien serap bunyi pada cabang ilmu fisika, dll.

Salah satu contoh penerapan rumus logaritma dalam kehidupan sehari hari dapat kita lihat pada salah satu alat ukur yang digunakan untuk mengukur kekuatan gempa bernama Seismograf.

Rumus Logaritma

Dalam ilmu matematika digambarkan salah satu contoh rumus logaritma bentuk eksponen ialah : a^b = c jika dinyatakan dengan notasi logaritma maka akan menjadi ^alog c = b.

Jika a^c = b, dengan b adalah bilangan positif dan a adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1, maka c adalah logaritma b dengan bilangan pokok a atau ditulis c = ⁸logb. Jika a > 0, a ≠ 1, dan b > 0, maka bentuk umum rumus logaritma dapat dinyatakan : ^alog b = c jika dan hanya jika a^c = b.

Dengan :

a = bilangan pokok atau basis logaritma (a > 0, a ≠ 1)
b = bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0)
c = hasil logaritma

Harus selalu diingat untuk diketahui sebelum membahas jauh mengenai rumus logaritma bahwa penulisan ^alog ^b artinya sama saja dengan log a^b.

Rumus Persamaan Logaritma :

Secara umum untuk menyelesaikan persamaan logaritma ( persamaan yang berkaitan dengan logaritma) sering digunakan konsep atau fakta bahwa ^alog x = ^alog y <-> x = y.

Misalkan jika kita punya $^a log f(x)=^a log g(x)$ maka $f(x)=g(x)$
Dengan syarat $a>0, ane 1, f(x)>0, g(x)>0$
Pertidaksamaan logaritma
Jika kita punya $^a log f(x)>^a log g(x)$ maka kita punya dua kondisi :

Pertama, saat a>0 maka $f(x)>g(x)$

Kedua, saat 0<a<1 ( a diantara 0 dan 1 contohnya ½, ¼ , dst) maka $f(x)<g(x)$

Catatan : Kadangkala dalam persamaan logaritma tersebut ada bentuk logaritma dengan bilangan pokoknya berbeda. Apabila terjadi demikian maka kita usahakan untuk memanipulasi bentuk persamaan ke dalam bentuk logaritma dengan bilangan pokok yang sama terlebih dahulu kemudian baru diselesaikan.

Disamping itu ada juga persamaan logaritma dikaitkan dengan bentuk persamaan yang lain seperti persamaan kuadrat atau bentuk persamaan lainnya

Rumus Pertidaksamaan Logaritma :

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, syarat utama yaitu kita harus menentukan terlebih dahulu nilai akar akarnya, garis bilangan, serta tandanya.

Setelah itu kita harus mengarsis daerah yang diminta berdasarkan ketidak-samaannya. Untuk menentukan akar akar pertidaksamaan logaritma tersebut, kita harus merubah dahulu menjadi persamaan logaritma.

Ruas kanan dan kiri tanda ketidaksamaan harus memuat bentuk logaritma dengan nilai basis atau bilangan pokok yang sama.

Sebagai contoh jika kita punya a log f(x) ≥ a log g(x)

Untuk bilangan pokok 0 < a < 1 f(x) ≤ g(x) f(x) > 0
g(x) > 0

Untuk bilangan pokok a>1

f(x) ≥ g(x)
f(x) > 0
g(x) > 0

Rumus Menghitung Tabel Logaritma :

Tabel Logaritma dapat digunakan untuk memudahkan operasi perkalian. Perhatikan contoh dibawah ini :

10.000 × 10.000.000 = 100.000.000.000
10⁴× 107 = 10¹¹

Hasil perkalian diatas didapatkan dengan menjumlahkan banyak angka nol pada masing-masing bilangan. Dari sinilah muncul sebuah ide bagaimana cara mengubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan, karena operasi penjumlahan lebih mudah diselesaikan.

Berdasarkan ide tersebut, John Napier berhasil menyusun tabel logaritma dengan basis 10. Tabel ini dapat digunakan untuk memudahkan proses perkalian. (Lihat tabel dibawah)

Sebagai contoh misalkan kita ingin menentukan hasil perkalian 1,35 × 2,17 dengan tabel logaritma. Mula-mula, tentukan nilai-nilai pada tabel logaritma yang berkorespondensi dengan nilai tersebut.

Berdasarkan tabel logaritma pada Gambar diatas, 1,35 berkorespondensi dengan 0,1303 dan 2,17 berkorespondensi dengan 0,3365. Dengan demikian, diperoleh:
1,35 × 2,17≡ 0,1303 + 0,3365≡ 0,4668

Selanjutnya, tentukan nilai pada tabel logaritma yang berkorespondensi dengan nilai tersebut. Berdasarkan tabel logaritma pada Gambar dibawah ini, 0,4668 berkorespondensi dengan 2,93

Sehingga diperoleh hasil dari nilai 1,35 × 2,17 ≈ 2,93.

Sifat Sifat Logaritma

Pada dasarnya, jumlah sifat sifat logaritma beserta turunannya berjumlah 10 sifat, mulai dari perkalian, pembagian, pengakaran, perpangkatan, dsb. Untuk membantu anda memahaminya, berikut ini kami rangkum 10 sifat logaritma beserta contoh soal dan pembahasannya.

1. Sifat Logaritma dari Pembagian

Sifat logaritma dari pembagian adalah hasil dari pengurangan dua logaritma lain di mana nilai dari kedua numerus tersebut merupakan pembagian / pecahan dari nilai numerus logaritma awal.

^alog x/y : ^alog x – ^alog y

Syarat : a > 0, a \ne 1, x > 0, y > 0

Contoh Soal Pembuktian :

2. Sifat Logaritma Perpangkatan

Sifat perpangkatan logaritma adalah salah satu sifat bilangan yang mempunyai pangkat berbentuk logaritma. Hasil dari nilai pangkatnya merupakan nilai di mana numerusnya berasal dari logaritma tersebut.

a ^{a log b}= b

Syarat : a > 0, a \ne 1, b > 0

Contoh Soal Pembuktian :