Materi, Rumus & Contoh soal Logika Matematika dan pembahasannya☑️ (Proposisi, Negasi, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi)☑️
Pada kesempatan kali ini kita akan mencoba untuk membahas materi dan kumpulan soal Logika matematika beserta jawaban pembahasannya untuk anda jadikan referensi dan pelatihan dalam pembelajaran matematika maupun kepentingan olimpiade.
Materi ini gampang-gampang susah dimengerti oleh siswa. Maka dari itu, simak materi contoh soal logika matematika dan penyelesaiannya yang akan kami tulis kali ini secara baik-baik. Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari adalah logika aritmatika.
Apa itu Logika?
Secara umum, logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid. Penalaran sendiri dibagi menjadi dua macam yaitu penalaran deduktif dan penalaran induktif.
Penalaran deduktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola penalaran tertentu.
Misalnya :
Premis 1 : Semua siswa diwajibkan mengikuti kegiatan orientasi sekolah.
Premis 2 : Arsyaka adalah siswa baru di sekolah
Kesimpulan : Arsya mengikuti kegiatan orientasi sekolah.
Yang kedua yaitu penalaran induktif. Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum.
Misalnya :
Premis 1 : Bebek -1 berkembang biak dengan cara bertelur.
Premis 2 : Bebek -2 berkembang biak dengan cara bertelur.
Premis 3 : Bebek -3 berkembang biak dengan cara bertelur.
Premis 4 : Bebek -4 berkembang biak dengan cara bertelur.
:
:
Premis 100 : Bebek -100 berkembang biak dengan telur.
Kesimpulan : Semua bebek berkembang biak dengan cara bertelur.
Pengertian Logika Matematika
Pengertian logika matematika adalah logika yang menggunakan bahasa Matematika berupa lambang lambang atau simbol simbol. Logika matematika secara khusus mempelajari cara penalaran manusia.
Penalaran seseorang yang diungkapkan dalam bahasa berupa kalimat-kalimat ini akan dirubah menjadi sebuah simbol simbol ataupun lambang matematis.
Dari definisi diatas, dapat kita ketahui bahwa logika merupakan konsep dasar untuk mempelajari kalimat-kalimat yang mengungkapkan atau merumuskan penalaran manusia.
Logika matematika ini menggabungkan ilmu logika dan ilmu matematika sebagai kuncinya dan merupakan landasan dasar untuk mengambil sebuah kesimpulan.
Mempelajari ilmu materi logika matematika ini kami rasa sangat penting karena soal olimpiade matematika SMA dan pembahasannya PDF yang akan kami bahas dalam artikel ini bisa menjadi konsep dasar untuk menentukan benar atau salahnya sebuah kesimpulan.
Ada setidaknya 11 macam materi soal logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 materi tersebut adalah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan.
Proposisi/ Pernyataan
Dalam logika matematika, Proposisi adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Sebuah kalimat dapat dinyatakan sebagai pernyataan jika bisa ditentukan benar atau salahnya. Jika merupakan sebuah kalimat relative, maka tidak bisa ditentukan sebagai pernyataan.
Nilai benar / salah suatu proposisi disebut nilai kebenaran pernyataan tersebut, dan sebuah nilai kebenaran tergantung pada realitas.
Pengertian pernyataan dalam logika matematika dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.
Pernyataan terbuka adalah pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenaran atau salahnya. Sedangkan pernyataan tertutup adalah adalah pernyataan yang sudah bisa dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
Kemudian dari jenisnya, proposisi juga dikelompokkan menjadi 2 yaitu proposisi sederhana (tidak mengandung kata hubung) serta proposisi majemuk (terdiri atas satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung.
Contoh Soal Pernyataan dalam Logika Matematika
Pernyataan Tertutup :
60 + 40 = 100 (benar) ; 200:4 = 60 (salah).
Kedua pernyataan diatas dapat dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Penyataan Terbuka :
Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih dahulu).
Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif. Pernyataan ini merupakan pernyataan yang bisa benar namun juga salah. Agar lebih memahaminya, simak contoh berikut.
Pernyataan relatif: Musik pop merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif karena tidak semua orang menyukai musik pop); Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, karena sebagian orang mengatakan dekat karena bisa ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Notes : Nilai kebenaran suatu pernyataan kadang-kadang ditulis dengan lambang angka 1 atau 0. Angka 1 ekuivalen dengan nilai kebenaran B, sedangkan angka 0 ekuivalen dengan nilai kebenaran S.
Negasi/ Ingkaran
pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang p atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya.
Sebuah negasi atau ingkaran biasanya dimulai dengan kata tidak benar bahwa untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Agar lebih memahaminya, berikut contoh untuk kalimat negasi.
Contoh Soal 1 :
Pernyataan A: Semua sungai mengalir ke samudera.
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A diatas adalah tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.
Contoh Soal 2 :
Noah adalah sebuah band/ musisi yang berasal dari kota Bandung. (benar)
Tidak benar bahwa Noah adalah band yang berasal dari Bandung. ( salah)
Noah bukan sebuah musisi band yang berasal dari Bandung. (salah)
Konjungsi/ Dan
Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung ”dan” Kata hubung “dan” tersebut disajikan dengan simbol ^. Suatu konjungsi bernilai benar hanya bila ke dua pernyataan tunggalnya bernilai benar.
Pernyataan akan salah jika salah satu pernyataan atau keduanya adalah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan menggunakan tanda ^ yang berarti ” dan “.
Tabel Kebenaran Konjungsi
|
p
|
q
|
P ^ q
|
Logika matematika
|
|
B
|
B
|
B
|
Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
|
|
B
|
S
|
S
|
Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
|
|
S
|
B
|
S
|
Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
|
|
S
|
S
|
S
|
Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah
|
Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan penjelasan dibawah ini.
- Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
- Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
- Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
- Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Contoh Soal :
a. Indonesia merupakan negara Republik dan berpenduduk lebih dari 200 juta jiwa. (p^q) = benar
b. Bebek adalah hewan berkaki dua dan dapat berenang. (p^q) = benar
c. 3 adalah bilangan genap dan habis di bagi lima. (p^q) = salah
Disjungsi/ Atau
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “atau” Kata hubung “atau” disajikan dengan simbol ˅.
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, pengertian disjungsi adalah penggunaan symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi adalah apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya adalah benar. Namun jika keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.
Dalam Logika Matematika disjungsi juga dibedakan menjadi dua macam “atau“. Yang pertama disebut Disjungsi Inklusif (dengan simbol ∨) dan yang kedua disebut Disjungsi Eksklusif (dengan simbol ⊻)
Tabel Kebenaran Disjungsi :
|
p
|
q
|
P v q
|
Logika matematika
|
|
B
|
B
|
B
|
Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
|
|
B
|
S
|
B
|
Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
|
|
S
|
B
|
B
|
Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
|
|
S
|
S
|
S
|
Jika p salah dan q salah maka p atau q adalah salah
|
Berikut penjelasannya mengenai rumus logika disjungsi:
- Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
- Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
- Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
- Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah.
Contoh Soal:
1. Pak Arsya suka makan telur ayam atau telur bebek.
2. Azqila suka berkunjung ke perpustakaan atau ke Mall.
3. X Y adalah himpunan semua elemen yang menjadi anggota himpunan X atau himpunan Y
Implikasi
Implikasi adalah peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung ”bila …., maka ….”. Pernyataan tunggal yang pertama disebut anteseden dan yang kedua disebut konsekuen. Kata hubung ”bila …., maka ….” pada implikasi ini disajikan dengan simbol ⇒.
Suatu implikasi bernilai benar bila antesedennya salah atau konsekuennya benar (jadi suatu Implikasi bernilai salah hanya apabila anteseden benar dan konsekuennya salah). Misalnya terdapat dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”.
Berikut ini merupakan tabel berisi konsep dari logika matematika implikasi untuk dipahami.
|
p
|
q
|
p => q
|
Logika matematika
|
|
B
|
B
|
B
|
Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
|
|
B
|
S
|
S
|
Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
|
|
S
|
B
|
B
|
Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
|
|
S
|
S
|
B
|
Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR
|
- Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar
- Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
- Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
- Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar.
- ~(p^q) = p˅~q
- ~(p˅q) = p^~q
- (p⇒q) = p˅~q.
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah jika pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah. Contohnya bisa anda lihat pada pernyataan dibawah ini.
Contoh Soal 1:
1. Jika 5 > 3, maka 7 > 5 (Benar)
2. Jika 5 < 3, maka – 7 > – 5 (Salah)
3. Jika x > 5, maka x > 10 (Salah)
Contoh Soal 2 :
1. Bila x adalah bilangan genap, maka x habis dibagi 2.
2. x habis dibagi 2 bila x adalah bilangan genap.
3. x adalah bilangan genap hanya bila x habis di bagi 2.
4. “x habis di bagi 2 “ merupakan syarat perlu agar “ x adalah bilangan bulat “
5. “x adalah bilangan bulat “ merupakan syarat cukup untuk “x habis di bagi 2 “
Biimplikasi/ Ekuivalensi
Pengertian Biimplikasi adalah pernyataan yang hanya akan menyatakan benar jika kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah pernyataan dianggap benar jika keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.
Dalam soal logika matematika, biimplikasi umumnya menggunakan menggunakan kata hubung “Bila dan hanya bila”. Logika matematika yang satu ini dinyatakan dengan symbol ⇔ yang memiliki arti ”p.. jika dan hanya jika q..”.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
|
p
|
q
|
p ó q
|
Logika matematika
|
|
B
|
B
|
B
|
P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
|
|
B
|
S
|
S
|
P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
|
|
S
|
B
|
S
|
P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
|
|
S
|
S
|
B
|
P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)
|
Agar lebih jelas, berikut pembahasanBiimplikasi secara singkatnya:
- Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
- Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
- Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
- Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar.
Contoh Soal :
1. Suatu bangun datar segitiga disebut sama kaki bila dan bila segitiga itu mempunyai dua sisi yang sama panjang (maksudnya suatu ekuivalensi:”bila dan hanya bila”)
Conclusion/ Konklusi
Penarikan kesimpulan merupakan materi terakhir dalam logika matematika. Kesimpulan bisa ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melakukan penarikan kesimpulan.
Modus ponens
Rumus Modus ponens adalah sebagai berikut:
premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya jika diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya adalah q.
Contoh:
- Premis 1: Jika musim semi tiba, bunga mekar.
- Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Modus Tollens
Rumus Modul Tollens:
- Premis 1: p→q
- Premis 2: ~q
Kesimpulan: ~p
Contoh Soal:
Premis 1: Jika musim dingin tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang musim dingin.
Silogisme
Rumus silogisme:
- Premis 1: p→q
- Premis 2: q→r
- Kesimpulan: p→r
Contoh Soal Silogisme:
- Premis 1: Jika musim panas tiba, hutan akan kekeringan.
- Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.
Dari sini dapat kita ambil kesimpulan: Jika musim panas tiba, maka pepohonan akan mati.
Konvers, invers, dan Kontraposisi
Pengertian konvers, invers dan kontraposisi adalah pernyataan yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi memiliki ketiga pernyataan tersebut.
Agar lebih mudah dalam pemahamannya, berikut ringkasannya:
- Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
- Maka konversnya adalah q⇒p
- Inversnya adalah ~p⇒~q
- Sedangkan untuk kontraposisinya adalah ~q⇒~p.
Kuantor Pernyataan
Kuantor pernyataan adalah sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum adalah pernyataan yang menggunakan “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang digunakan adalah x.
Contoh: Pernyataan “semua bunga adalah indah”. Maka notasinya adalah (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus adalah pernyataan yang menggunakan “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang digunakan adalah Ǝx.
Contoh: pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya adalah (Ǝx),Jx.
Ingkaran dari pernyataan kuantor
Sama seperti pernyataan, kuantor adalah memiliki negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini adalah bahwa negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai contoh adalah:
p : semua bunga adalah indah
~p : semua bunga tidaklah indah.
| Sifat Sifat Logaritma | Jaring Jaring Balok |
| Jaring Jaring Kubus | Gerbang Logika |
Nah, sekitan dulu pembahasan sederhana tentang materi dan Contoh soal logika matematika yang bisa wikielektronika tuliskan. Kami harap apa yang telah kita pelajari pada artikel materi logika matematika ini bisa membantu dalam memahami soal-soal logika Matematika.
Karena bagaimanapun juga, ilmu logika matematika sering digunakan dalam metode penelitian dan kegiatan akademik lainnya. Semoga dapat bermanfaat.
